第89章 白发魔的特权（2 / 2）

  1.  应用柯西不等式：

  柯西不等式表明，对于任意的实数  \(  x_1,  x_2,  \ldots,  x_n  \)  和  \(  y_1,  y_2,  \ldots,  y_n  \)，我们有

  \[  (x_12  +  x_22  +  \cdots  +  x_n2)(y_12  +  y_22  +  \cdots  +  y_n2)  \geq  (x_1y_1  +  x_2y_2  +  \cdots  +  x_ny_n)2  \]

  2.  选择合适的  \(  x_i  \)  和  \(  y_i  \)：

  用\(  x_i  \)  和  \(  y_i  \)  来表示  \(  a,  b,  c  \)  和  \(  \frac{1}{a},  \frac{1}{b},  \frac{1}{c}  \)。我们可以令

  \[x_1  =  \sqrt{a},  \quad  x_2  =  \sqrt{b},  \quad  x_3  =  \sqrt{c},  \quad  y_1  =  \sqrt{a},  \quad  y_2  =  \sqrt{b},  \quad  y_3  =  \sqrt{c}  \]

  3.  应用柯西不等式：

  根据柯西不等式，我们有

  \[  (a  +  b  +  c)(\frac{1}{a}  +  \frac{1}{b}  +  \frac{1}{c})  =  (x_12  +  x_22  +  x_32)(y_12  +  y_22  +  y_32)  \geq  (x_1y_1  +  x_2y_2  +  x_3y_3)2  \]

  4.  简化右边的表达式：

  将  \(  x_i  \)  和  \(  y_i  \)  的值代入，我们得到

  \[  (x_1y_1  +  x_2y_2  +  x_3y_3)2  =  (\sqrt{a}\sqrt{a}  +  \sqrt{b}\sqrt{b}  +  \sqrt{c}\sqrt{c})2  =  (a  +  b  +  c)2  \]

  5.  得出结论：

  因此，我们有

  \[  (a  +  b  +  c)(\frac{1}{a}  +  \frac{1}{b}  +  \frac{1}{c})  \geq  (a  +  b  +  c)2  \]

  6.  使用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM  不等式）：

  根据  AM-GM  不等式，对于任何非负实数  \(  x  \)  和  \(  y  \)，有

  \[  \frac{x  +  y}{2}  \geq  \sqrt{xy}  \]

  等号成立当且仅当  \(  x  =  y  \)。

  7.  应用  AM-GM  不等式：

  将  \(  a  +  b  +  c  \)  看作是三个数的和，应用  AM-GM  不等式，我们有

  \[  \frac{(a  +  b  +  c)}{3}  \geq  \sqrt[3]{abc}\]

  8.  得出结论：

  因此，我们有

  \[  (a  +  b  +  c)(\frac{1}{a}  +  \frac{1}{b}  +  \frac{1}{c})  \geq  3\sqrt[3]{abc}  \cdot  3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}  =  9  \]

  综上所述，我们证明了  \(  (a  +  b  +  c)(\frac{1}{a}  +  \frac{1}{b}  +  \frac{1}{c})  \＝9  \)。

  徐武放下粉笔，向白发魔点点头，直接回到下面第一排的位置上坐下了。

  “呵呵呵，徐武同学很不错，刚才我说的随时生效，你可以选择来与不来都可以。”白发魔发出特有的笑声说道，让大家都明白徐武做对了，但这种情况每次都会发生，大家都习惯了，不像之前一样喧哗出声，只是为徐武的才华感到惊艳罢了。

  “接下来我们继续上课，大家打开课本，翻到上一次讲到的内容，今天我们接着继续学习。”白发魔的话音让大家的注意力回到课本上，很有节奏的讲起了内容。

  后面的课就是平平淡淡了，除了外语课上欧阳娜娜的一场问答，其他的课程都是老样子。徐武感到很无聊，灵识又回到自己身体内部查看了起来，希望早点弄清楚自己的身体情况。

  只是事与愿违，一直到今天结束，徐武也没找到任何信息，只得作罢了。